\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }
\begin{document}
	
	\section{Numerov法}
	\footnote{参考：http://staff.ustc.edu.cn/~zqj/posts/Numerov-Algorithm/ 以及 https://www.zhihu.com/question/526927903/answer/2508509778 的解读}
	我们简要探讨Numerov法（这位数学家的名字一看就很适合搞数值分析！），Numerov法特别适用于具有以下形式的ODE，其巧妙地利用了ODE方程的结构以提升精度。
	\begin{equation}
		u = u(x) \qquad \dv[2]{u}{x} + k(x) u(x) = 0
	\end{equation}
	（其中$k$是已知的关于$x$的函数）
	和以往一样，我们分别对$u(x+\dd x)$和$u(x-\dd x)$使用Taylor展开，这次我们展开到四阶：
	\begin{equation} \label{eq_1}
		\begin{aligned}
			& u(x + \dd x) = u(x) + u'(x) \dd x + \frac{u''(x)}{2} (\dd x)^2 + \frac{u'''(x)}{6} (\dd x)^3 + \frac{u''''(x)}{24} (\dd x)^4 \\
			& u(x - \dd x) = u(x) - u'(x) \dd x + \frac{u''(x)}{2} (\dd x)^2 - \frac{u'''(x)}{6} (\dd x)^3 + \frac{u''''(x)}{24} (\dd x)^4 \\
			\Rightarrow & u(x + \dd x) + u(x - \dd x) = 2u + u'' (\dd x)^2 + \frac{u''''}{12} (\dd x)^4
		\end{aligned}
	\end{equation}
	（若无说明，我们认为$u$指$u(x)$处的函数）。可见，奇数次导数项按惯例相互抵消。
	同样地，我们对$u$的二阶导$u''$本身做 Taylor 展开到二阶
	（如果感到困惑，不妨将$u''$视为一个函数，比如$g$，然后对$g$做 Taylor 展开）
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			& u''(x + \dd x) = u''(x) + u'''(x) \dd x + \frac{u''''(x)}{2} (\dd x)^2 \\
			& u''(x - \dd x) = u''(x) - u'''(x) \dd x + \frac{u''''(x)}{2} (\dd x)^2 \\
			\Rightarrow & u''(x + \dd x) + u''(x - \dd x) = 2u'' + u'''' (\dd x)^2 \\
			\Rightarrow & u'''' = \frac{u''(x + \dd x) + u''(x - \dd x) - 2u''}{(\dd x)^2}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	将四阶导的结果代回 \formula{eq_1} 的结果：
	\begin{equation}
		u(x + \dd x) + u(x - \dd x) = 2u + u''  (\dd x)^2 + \frac{u''(x + \dd x) + u''(x - \dd x) -  2u''}{12} (\dd x)^2
	\end{equation}
	之后我们完成最有趣的一步：将微分方程本身，$u''=-ku$，代入这个结果并化简：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			& u(x + \dd x) + u(x - \dd x) = 2u - ku (\dd x)^2 - \frac{k(x + \dd x) u(x + \dd x) + k(x - \dd x) u(x - \dd x) + 2k u}{12} (\dd x)^2 \\
			\Rightarrow & \left(1+\frac{k(x + \dd x) (\dd x)^2}{12}\right) u(x + \dd x) + \left(1+\frac{k(x - \dd x) (\dd x)^2}{12}\right) u(x - \dd x) = \left(2 - \frac{5k (\dd x)^2}{6}\right) u \\
			\Rightarrow & u(x + \dd x) = \frac{\left(2 - \frac{5k (\dd x)^2}{6}\right) u - \left(1+\frac{k(x - \dd x) (\dd x)^2}{12}\right) u(x - \dd x)}{\left(1+\frac{k(x + \dd x) (\dd x)^2}{12}\right)}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	由此得到递推关系式：
	\begin{equation}
		u_{i+1} = \frac{(2 - \frac{5 k_i (\dd x)^2}{6}) u_i - (1+\frac{k_{i-1} (\dd x)^2}{12}) u_{i-1} }{(1+\frac{k_{i+1} (\dd x)^2}{12})}
	\end{equation}
	Numerov方法能提供四阶精度的结果，而不是“标准”中心差分的二阶，尽管二者均只需前两项。
	耶！
\end{document}